Einführung in die Astronomie Teil 4 - Das kleine 1x1 der Astrophysik

4.1 Wo rohe Kräfte sinnvoll walten...

Kraft - was ist das?

Es ist eine Erfahrungstatsache, daß alles, was man hochhebt und dann los läßt, herunterfällt. Das ist nicht schwer zu verstehen, denn schließlich wird jeder Körper auf der Erde (einschließlich uns Menschen) von ihr angezogen. Wovon ist die Stärke dieser Anziehungskraft abhänig? Zu einem von der Masse des Körpers: Ein 2kg-Gewichtstück ist doppelt so schwer wie ein 1kg-Gewichtstück, wie jeder aus Erfahrung weiß. Zum anderen hängt die Kraft noch von einer Größe ab, die die Physiker 'Fallbeschleunigung' nennen.
Damit erhalten wir für die Größe der Erdanziehungskraft:

Erdanziehungskraft=Masse·Fallbeschleunigung

Physiker sind schreibfaul. Daher müssen sie sich für alles eine Abkürzung ausdenken. Ein Physiker würde die o.g. Gleichung so scheiben:

F = m · gmit: F = Erdanziehungskraft
m = Masse des Körpers
g = Fallbeschleunigung

"Was hat das mit dieser »Fallbeschleunigung« auf sich?" mögen Sie jetzt vielleicht denken, "und in welchen Einheiten wird eine Kraft gemessen?"

Zur Fallbeschleunigung: Auch wenn Sie's nicht glauben, aber alle Körper - egal wie schwer sie sind - fallen mit der gleichen Beschleunigung (wenn die Luftreibung nicht wäre). Die Fallbeschleunigung beträgt auf der Erdoberfläche ca. 9.81m/s² d.h. die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers nimmt pro Sekunde um 9.81m/s zu. Ein fallender Körper hat nach einer Sekunde Fallzeit eine Geschwindigkeit von 9.81m/s, nach zwei Sekunden 19.62m/s, nach drei Sekunden 29.43m/s usw...

Die Beziehung Kraft=Masse·Beschleunigung gilt allgemein. Denn um einen Körper zu beschleunigen (oder auch abzubremsen) ist stets eine Kraft nötig.

Nun zur Einheit, in der Kräfte gemessen werden: Dazu rechnen wir doch mal 'just for fun' aus, welche Kraft nötig wäre um einen Körper mit der Masse 1kg mit 1m/s² zu beschleunigen:

F = 1kg·1m/s² = 1kg·m/s²

Wir müssen also eine Kraft von 1kg·m/s² aufwenden, um einen Körper mit der Masse 1kg mit 1m/s² zu beschleunigen. Für die Größe 1kg·m/s² haben sich die Physiker wieder einen eigenen Namen ausgedacht. Zu Ehren ihres berühmten Kollegen Isaac Newton nennen sie diese Größe 1 Newton oder abgekürzt 1N. 1Newton ist die 'offizielle' Einheit für Kräfte.


Zusammenfassung:

Das haben wir soeben gelernt:

Kraft=Masse·Beschleunigung
Kräfte werden in 'Newton' gemessen. 1Newton=1kg·m/s²
Alle Körper würden ohne Luftreibung mit einer Fallbeschleunigung von 9.81m/s² zu Boden fallen.


Die Fliehkraft

Vielleicht kennen Sie folgendes Experiment: Man nehme einen Eimer Wasser und schleudere ihn in einem Kreis herum. Wird der Eimer schnell genug umhergeschleudert, so bleibt das Wasser im Eimer und fließt nicht hinaus. Die Erklärung ist ganz einfach: Wird der Eimer umher geschleudert, wirkt eine Kraft auf ihm, die versucht ihn nach außen zu ziehen. Diese Kraft nennt man Fliehkraft. Wird nun die Fliehkraft größer als die Gewichtskraft des Körpers (d.h.die Kraft, die von der Erdanziehung auf den Körper ausgeübt wird), so fällt er nicht herunter.

Wovon hängt nun die Größe der Fliehkraft ab? Zum einen von der Masse des Körpers. Davon kann man sich leicht überzeugen, indem man einfach mehr Wasser in den Eimer füllt und dann den Versuch wiederholt. D.h.: die Fliehkraft ist proportional zur Masse des Körpers.
Daneben spielt auch die Geschwindigkeit, mit der der Körper umhergeschleudert wird, eine Rolle. Auch davon können wir uns leicht selber überzeugen: Wir befestigen einen Körper an einen Faden und schleudern ihn umher. Nun schleudern wir ihn immer schneller bis die Schnur reißt. Also: Je größer die Umdrehungsgeschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit, wie die Physiker sagen), desto größer die Fliehkraft. Genaue Untersuchungen haben gezeigt: Bei doppelter Winkelgeschwindigkeit ist die Fliehkraft 4 Mal so groß und bei 3-facher Winkelgeschwindigkeit 9 Mal, usw. D.h. die Fliehkraft hängt vom Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ab.
Daneben hängt die Fliehkraft auch von der Länge der Schnur ab: Je länger die Schnur, desto größer ist die Fliehkraft.

Damit berechnet sich die Fliehkraft nach folgender Formel:

F = m·w ²·r mit F = Fliehkraft
m = Körpermasse
w = Winkelgeschwindigkeit
r = Bahnradius
Setzt man für die Winkelgeschwindigkeit w = v/r in die o.g. Gleichung ein, so erhält man folgenden Ausdruck für die Fliehkraft F:

F = m·v ² / rmitv = Umlaufsgeschwindigkeit



Zusammenfassung:

Das haben wir soeben gelernt:

Für die Fliehkraft, welche auf einen Körper mit Masse m wirkt, welcher sich auf einer Kreisbahn mit Radius r und Geschwindigkeit v bewegt, gilt:
F = m·v²/r

Die Gravitationskraft oder Massenanziehung

Isaac Newton Wie schon gesagt, alles, was man hochhebt und losläßt, fällt herunter. Hinter dieser Erfahrungstatsache verbirgt sich ein universelles Gesetz, das zuerst von Isaac Newton im Jahre 1687 aufgestellt wurde: Das Gravitationsgesetz. Es besagt, daß sich zwei Körper aufgrund ihrer Masse gegenseitig anziehen.
Wovon hängt die Größer der Anziehungskraft zwischen zwei Massen ab? Nun, zuerst einmal von der Größe der beiden Massen selbst. Diese Tatsache wird jeder bestätigen können, der einmal versucht hat einen massereichen Körper anzuheben. Verdoppelt man eine der beiden Massen, so verdoppelt sich auch die Anziehungskraft zwischen ihnen.
Daneben hängt sie noch von ihrem Abstand ab: Verdoppelt man die Entfernung der Massen zueinander, so nimmt die Anziehungskraft zwischen ihnen auf 1/4 des ursprünglichen Wertes ab. Verdreifacht man den Abstand, so reduziert sich die Anziehungskraft sich auf 1/9, usw. D.h.: die Anziehungskraft zweier Massen ist proportional zu der Größe der Massen und umgekehrt porportional zum Quadrat ihres Abstandes voneinander.

Um jetzt ausrechnen zu können wie groß die Anziehungskraft zweier beliebiger Massen m1 und m2 aufeinander ist, die sich in einer beliebigen Entfernung r voneinander befinden, brauchen wir noch den Proportionalitätsfaktor - die sog. 'Gravitationskonstante' G. Diese hat den (vielleicht etwas seltsam anmutenden) Wert von 6,67·10-11 N·m²/kg² . Sie besagt lediglich, daß sich zwei Körper mit Massen von je 1kg, welche sich in 1m Abstand befinden, mit einer Kraft von nur 0.000.000.000.066.7N anziehen.

Damit erhalten wir folgende Formel für die Gravitationskraft:

F=G*m1*m2/r^2 mit F = Gravitationskraft
m1, m2 = Masse von Körper1 bzw. Körper2
r = Abstand der beiden Körper
G = Gravitationskonstante
Dies ist das sog. 'Gravitationsgesetz'.


Zusammenfassung:

Das haben wir soeben gelernt:

Das Gravitationsgesetz lautet: F=G*m1*m2/r^2 .
Es beschreibt die Kraft F mit der sich zwei Massen m1 und m2, die sich in der Entfernung r voneinander befinden, anziehen.


... und wozu brauche ich das alles?
- einige Anwendungsbeispiele

Im folgenden soll mit einigen Anwendungsbeispielen gezeigt werden, daß alles, was wir oben gelernt haben, nicht nur Schulbuchweisheiten sind, sondern auch dazu verwendet werden können, um wissenschaftliche Erkenntnisse zu gewinnen.

1. Fallbeschleunigung und die Masse der Erde

Wie wir gesehen haben, fallen alle Körper im Vakuum auf der Erde mit der gleichen Beschleunigung von 9.81m/s². Diese Erkenntnis läßt sich benutzen, um die Erdmasse zu bestimmen. Die Gewichtskraft F eines Körpers mit der Masse m2 wird durch die Erdanziehung (Gravitation) hervorgerufen. Als Formel ausgedrückt heißt das:
F=G*m1*m2/r^2 = m2 · gmit G = Gravitationkonstante
m1 = Erdmasse
m2 = Masse des Körpers
g = Fallbeschleunigung
r = Abstand Körper-Erdmittelpunkt
Für r setzen wir den Erdradius von 6380km=6380000m (auf die Einheiten achten, wir brauchen den Erdradius in Meter!) ein. Wir gehen davon aus, daß die gesammte Erdmasse im Erdmittelpunkt konzentriert wäre. Das entspricht zwar nicht der Wirklichkeit, aber das ist in diesem Fall nicht schlimm.

Schauen wir uns die Formel genauer an, so sehen wir, daß wir die Masse m2 herauskürzen können. Wir erhalten jetzt:

G · m1 / r ² = g

Wir haben jetzt eine Formel für die Fallbeschleunigung g bekommen. In dieser Formel taucht die Masse des fallenden Körpers nicht mehr auf, d.h. die Fallbeschleunigung ist unabhängig von der Masse des fallenden Körpers, oder anders ausgedrückt: Alle Körper fallen im Vakuum gleich schnell. Aber das wissen wir ja schon (s.o.). Die hier verwendete Argumentationweise mag den einen oder anderen vielleicht seltsam vorkommen, aber genau so machen's die theoretischen Physiker.

Wenn wir die obrige Gleichung nun nach der Erdmasse m1 auflösen, bekommen wir:

m1 = g · r ² / G

Nun setzen wir die Zahlenwerte für g, G und r ein und erhalten für die Erdmasse: 5.99·1024kg
Literaturwert: 5.976·1024kg

Verglichen mit dem Literaturwert war unser Ergebnis doch gar nicht schlecht, oder?


2. Die Masse des Jupiter

Um die Masse des Jupiters zu bestimmen, müssen wir ein wenig anders vorgehen. Weder können wir (wenigsten heute) Jupiter auf eine Waage packen und direkt wiegen, noch einen Probekörper auf seine Oberfläche fallen lassen, um aus der gemessenen Fallbeschleunigung die Jupitermasse zu bestimmen. Wir können uns aber von der Erde aus seine vier größten Monde anschauen. Wenn Sie es noch nicht getan haben, sollten Sie es ruhig einmal versuchen. Man sieht sie schon im Fernglas - ein hübscher Anblick!.
"Aber was bringt uns das jetzt weiter?" mögen Sie vielleicht denken. Nun, die Jupitermonde umkreisen ihren Planeten auf fast kreisförmigen Umlaufbahnen. Anziehungskraft und Fliehkraft halten sich das Gleichgewicht. Es glit:
F=G*m1*m2/r^2 = m2·v ² / rmit G = Gravitationkonstante
m1 = Masse des Jupiters
m2 = Masse eines Jupitermondes
v = Umlaufgeschwindkeit
r = Bahnradius
Die Mondmasse und Bahnradius können wir einmal herauskürzen. Wir erhalten:

G · m1 / r = v ²

Aus dieser Gleichung können wir jetzt schon folgendes ersehen: Je größer die Masse eines Planeten, desto höher ist die Umlaufgeschwindigkeit seiner Monde. Das ist auch recht einleuchtend, denn je größer die Masse eines Planeten, desto stärker ist auch die Anziehungskraft auf seine Monde und desto schneller müssen sich die Monde bewegen, um genügend Fliehkraft zu erzeugen, damit sie nicht auf den Planeten stürzen.
Dazu ein Beispiel: Jupitermond Io ist nur ein wenig weiter von seinem Planeten entfernt (422000km) wie unser Mond von der Erde (384000km). Während der Mond für einen Umlauf um die Erde ca. 27 Tage benötigt, braucht Io für eine Jupiterumrundung nur 1.77 Tage! Daran kann man schon erkennen, daß die Jupitermasse wesentlich größer sein muß als die Erdmasse.

Doch nun zurück zu unserer Formel. Wenn wir sie nach der Jupitermasse m1 auflösen, erhalten wir:

m1 = v ² · r / G

Bevor wir die Jupitermasse ausrechnen können, müssen wir noch die Umlaufgeschwindigkeit eines Jupitermonds (z.B. Io) bestimmen. Mit dem Radius von Ios Umlaufbahn (422000000m) und der Umlaufzeit von 1.77Tagen=1.53·105Sekunden erhalten wir eine Umlaufsgeschwindigkeit von ca. 17300m/s.

Setzen wir dies in die o.g. Gleichung ein, erhalten wir für die Jupitermasse den Wert von 1.89·1027kg (Literaturwert: 1.90·1027kg) was ungefähr 317 Erdmassen entspricht!


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© Die AVG Internet-Redaktion, letzte Änderung: 08.04.2000